はじめに - Problem Note

[[タイトルそのまま
日々のことも書くけどできるだけ解いた問題や解こうとしている問題
やろうとしていることなどを書きたい

さっそく考え中の問題

中国数学オリンピック2007
$\triangle ABC$ の外接円の中心を $O$ 、内接円の中心を $I$ とする
内接円が $BC,CA,AB$ と接する点をそれぞれ $D,E,F$ とする
直線 $FD$ と $CA$ が交わる点を $P$
直線 $DE$ と $AB$ が交わる点を $Q$
線分 $PE$ と $QF$ の中点をそれぞれ $M,N$ とするとき
$OI \perp MN$ であることを示せ

証明
メネラウスの定理より
$\frac{QA}{QB} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{BD}{DC} = 1$
また $CD=CE$ なので
$\frac{QA}{QB} = \frac{EA}{BD}$
さらに $AE = AF , BD = BF$ ゆえ
$\frac{QA}{QB} = \frac{AF}{BF}$
よって点 $Q,F,A,B$ は調和点列をなす
同様にして点 $P,E,A,C$ は調和点列をなす

補題１
一直線上にある点 $A,X,B,Y$ が調和点列をなし線分 $AB$ の中点を $M$ とするとき
$BM^2 = XM \cdot YM$

証明
$A,X,B,Y$ が調和点列をなすので
$XA : XB = YA : YB$
また合除比の理より
$(XA - XB) : (XB + XA) = (YA - YB) : (YB + YA) \rightarrow 2XM : 2BM = 2BM : 2YM$ ゆえ
$XM : BM = BM : YM$
$\therefore BM^2 = XM \cdot YM$

さて補題１より
$NF^2 = NA \cdot NB$
$ME^2= MA \cdot ME$
を得る
$\triangle ABC$ の外接円へ $N,M$ からそれぞれ接線を引くと方べきの定理から
$NA^2=NA \cdot NB = r_{\tiny{N}}^2$
$ME^2= MA \cdot ME = r_{\tiny{M}}^2$
ゆえ
$NA=r_{\tiny{N}} \; \cdots (i)$
$ME=r_{\tiny{M}} \; \cdots (ii)$
ただし $r_{\tiny{M}},r_{\tiny{N}}$ は $N,M$ から $\triangle ABC$ の外接円への距離(冪)
$(i),(ii)$ より $N,M$ から内接円、外接円までの距離が等しいので直線 $NM$ は2円の根軸上にある
したがって直線 $MN$ は $OI$ と垂直である