ガッコン答え - Problem Note

大数ガッコンより
$1 \; + \; \frac{1}{\sqrt{2}} \; + \; \frac{1}{\sqrt{3}} \; + \; \cdots \; + \; \frac{1}{\sqrt{100}}$ の値を小数第１位を四捨五入して求めよ

はじめに
この問題だけを出されていたのではなく誘導がありました

(i) $k>0$ のとき、つぎの不等式が成り立つことをグラフを用いて説明せよ
(イ)　
$\frac{1}{\sqrt{\large{k+1}}} \; < \; \int_{\tiny{k}}^{\tiny{k+1}} \; \frac{\large{dx}}{\Large{\sqrt{x}}}$
(ロ)
$\frac{1}{\Large{\sqrt{k}}} \; > \; \frac{1}{\sqrt2} \; $ \frac{1}{\large{\sqrt{k}}} - \frac{1}{\large{\sqrt{k+1}}} $ \; + \; \int_{\tiny{k}}^{\tiny{k+1}} \; \frac{\large{dx}}{\Large{\sqrt{x}}}$

区分→ $y \; = \; \frac{1}{\Large{\sqrt{x}}}$ から面積で台形評価です
(i)の不等式(イ)より
$\sum_{k=1}^{100}\; \frac{1}{\large{\sqrt{k}}} \; = \; 1 \; + \; \sum_{k=1}^{99} \; \frac{1}{\large{\sqrt{k+1}}} \; < \; 1 \; + \; \sum_{k=1}^{99} \int_{\tiny{k}}^{\tiny{k+1}} \; \frac{1}{\large{\sqrt{k}}}$ $\; = \; 1 \; + \; \int_{1}^{100} \; \frac{\large{dx}}{\large{\sqrt{x}}} \; = \; 1 + \; [\; 2\sqrt{x}\; ]_{1}^{100} \; = \; 19$
(ロ)より
$\sum_{k=1}^{100} \; \frac{1}{\sqrt{\large{k}}} \; = \; \sum_{k=1}^{99}\frac{1}{\sqrt{k}} \; + \; \frac{1}{\sqrt{100}} \; > \; \sum_{k=1}^{99} \; \{\frac{1}{2} \; (\frac{1}{\large{\sqrt{k}}} \; - \; \frac{1}{\large{\sqrt{k+1}}}) \; + \; \int_{\tiny{k}}^{\tiny{k+1}}\; \frac{\large{dx}}{\large{\large{\sqrt{x}}}}\} \; + \; \frac{1}{\sqrt{100}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　 $= \; \frac{1}{2}(1 \; - \; \frac{1}{\sqrt{100}}) \; + \; \int_{1}^{100} \; \frac{\large{dx}}{\large{\sqrt{x}}} \; + \; \frac{1}{10}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　 $=\; \frac{1}{2}(1 \; - \; \frac{1}{10}) \; + \; [ \;2\sqrt{x} \; ]_{1}^{100} \; + \; \frac{1}{10} \; = \; 18.55$

よって　
$18.55 \; < \; \sum_{k=1}^{100} \; \frac{1}{\large{\sqrt{k}}} \; < \; 19$
により答えは19