東大プレ - Problem Note

2以上の整数nに対して
$S_n \;=\; 1\; + \; \frac{\large{1}}{\large{2}} \; + \; \frac{\large{1}}{\large{3}}\; + \; \cdots \; + \;\frac{\large{1}}{\Large{n}}$
とする。
(1) $\lim _{n \to \infty} S_n = +\infty$ であることを示せ。
(2)素数pに対し、 $S_p$ は整数値をとらないことを示せ。
(3)任意の $n \; (n \geq 2)$ にたいし $S_n$ は整数値をとらないことを示せ。
ただし、必要ならば次の定理を用いてもよい
定理「 $x$ を $x>1$ なる正数とするときxと2xの間には必ず素数が存在する」

下の定理は初等的に解けないのかと前に質問受けたことがあったが漏れはwiki情報しかわからない
wikiの内容さえ理解できぬ・・・
追記
ゼータ関数
 http://homepage3.nifty.com/y_sugi/sp/sp32.htm
なぜそうなるか、という筋道はないがすごく綺麗な関係式
漏れにはまだ手が出ない
オイラー積(ﾟдﾟ)ﾊｧ?

追記
解答
(1)略(区分求積)
(2)
$S_p \;=\; 1\; + \; \frac{\large{1}}{\large{2}} \; + \; \frac{\large{1}}{\large{3}}\; + \; \cdots \; + \;\frac{\large{1}}{\Large{p}}$ が整数値をとすると両辺に(p-1)!をかけると
$(p-1)!S_p \; = \; (p-1)! \; \cdot \; \{\; 1\; + \; \frac{\large{1}}{\large{2}} \; + \; \frac{\large{1}}{\large{3}}\; + \; \cdots \; + \;\frac{\large{1}}{\Large{n}}\} \; + \; \frac{(\large{p}-1)!}{\large{p}}$

ここでpは素数であるから(p-1)!はpで割り切れない。したがって $\frac{(\large{p}-1)!}{\large{p}}$ は整数とはならないので、上式は左辺が整数だが右辺が整数とならず矛盾である。
よって $S_p$ は整数値とはならない

(3)
$S_n \;=\; 1\; + \; \frac{\large{1}}{\large{2}} \; + \; \frac{\large{1}}{\large{3}}\; + \; \cdots \; + \;\frac{\large{1}}{\Large{n}}$
が整数値をとるものとして矛盾を導く。

(i)nが素数のときは(2)より矛盾

(ii)nが合成数のとき
n以下の素数のうち最大のものをpとする。「定理」より $p \; > \; \frac{\Large{n}}{\large{2}}$ としてよい。
両辺にn!をかけると

$n! S_n = n!\{\frac{\large{1}}{\large{2}} \; + \; \frac{\large{1}}{\large{3}} \; + \; \cdots \; + \; \frac{\large{1}}{\large{p-1}} \; + \; \frac{1}{\large{p}} \;+ \; \cdots \; + \; \frac{1}{\large{n-1}} \; + \; \frac{1}{\Large{n}}\}$
　　　 $=n(n-1) \cdots (p+1) \cdot p \cdot (p-1)! \cdot \{1\; + \; \frac{\large{1}}{\large{2}} \; + \; \frac{\large{1}}{\large{3}}\; + \; \cdots \; + \;\frac{\large{1}}{\large{p-1}} \} \; \cdots \;$ ①
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 $+ \; \frac{\Large{n!}}{\large{p}} \; \cdots$ ②
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 $+ \; \frac{\Large{n!}}{\large{p+1}} \; \cdots \; + \; \frac{\Large{n!}}{\Large{n}} \; \cdots$ ③
この左辺はpの倍数である。
右辺について、①はpの倍数である。
また③は各項の分子がpを含むのでpの倍数である。
ところが②は
$n(n-1) \cdots (p+1) \cdot (p-1) \cdot 2 \cdot 1$ がpで割り切れないのでpの倍数ではない。
以上より左辺はpの倍数であるが右辺はpの倍数ではなく矛盾する。
よって任意のnについて $S_n$ は整数値をとらない。