解答版

１
つぎの条件をみたす実数yをすべて求めよ
「任意の実数xに対して
　　　　　　　　　　　\(x \; - \; \frac{\large{p}}{\large{q}} \)^2 \; + \; \(y\; - \; \frac{1}{\large{2q^{\tiny{2}}}} \)^2 \; \leq \; \(\frac{1}{\large{2q^{\tiny{2}}}}\)^2
を成り立たせる整数p,qが存在する。」

これは後に図書館で大数のバックナンバーを見ていて見つけた
以下大数のコピー

条件の不等式が定める領域は、円
\(x \; - \; \frac{\large{p}}{\large{q}} \)^2 \; + \; \(y\; - \; \frac{1}{\large{2q^{\tiny{2}}}} \)^2 \; = \; \(\frac{1}{\large{2q^{\tiny{2}}}}\)^2　・・・①
の周および内部(以下"円板"と呼ぶ)で、整数の組p,qを1つを決めるごとに円板ができる。そこで、①の定める円板を、簡単に記号[p \; ,\; q]で表すことにする。すると

(Ⅰ)
\frac{\large{p}}{\large{q}} \; = \; \frac{\large{p'}}{\large{q'}} \; (0 \; < \; q \; < \;q')の場合
円板[p' \; , \; q']は円板[p \; , \; q]に含まれる。
したがって円板で平面を覆うことを考える場合、\frac{\large{p}}{\large{q}}としてqの小さいもの、つまり既約分数を考えればよい。

(Ⅱ)
\frac{\large{p}}{\large{q}} \; \ne \; \frac{\large{p'}}{\large{q'}}の場合
円板[p \; , \; q]と[p' \; , \; q']で
(中心間の距離)^{\tiny{2}} \; - \; (半径の和)^{\tiny{2}}
=\{\(\frac{\large{p}}{\large{q}} \; - \; \frac{\large{p'}}{\large{q'}} \)^{\tiny{2}} \; + \; \(\frac{1}{\large{2q^{\tiny{2}}}} \; - \; \frac{1}{\large{2q'^{\tiny{2}}}}\)^{\tiny{2}}\} \; - \; \(\frac{1}{\large{2q^{\tiny{2}}}} \; + \; \frac{1}{\large{2q'^{\tiny{2}}}}\)^{\tiny{2}}
=\(\frac{\large{p}}{\large{q}} \; - \; \frac{\large{p'}}{\large{q'}} \)^{\tiny{2}} \; - \; \frac{1}{\large{q^{\tiny{2}}} q'^{\tiny{2}}} \; = \; \frac{\large{(pq' \; - \; p'q)^{\tiny{2}} \; - \; 1}}{\large{q^{\tiny{2}} q'^{\tiny{2}}}} \; \geq \; 0
∴　(中心間の距離)≧(半径の和)

したがってこの場合円板[p\; , \;q]と[p'\; , \; q']は完全に離れているか互いに外接すかのいずれかであり
外接する条件は
|pq' \; - p'q| \; = \; 1
以上Ⅰ,Ⅱから

ちょっと休憩
続き

円板[0 \; , \; 1]と[1 \; , \; n]は外接し、さらに円板[1\; , \;nと[1 \;, \; n+1]も外接する。
また既約分数
0 \; < \; \frac{\large{p}}{\large{q}} \;< \; 1 \; (p \; \geq \; 2 \; , \;q \; > \; 0)で定まる円板[p \; , \; q]は

\frac{1}{\large{1+n}} \; < \; \frac{\large{p}}{\large{q}} \; < \; \frac{1}{\large{n}}

を満たす自然数nが必ず存在することから、2つの円板[1\; , \; n] \; , \; [1 \; , \; 1+n ]とx軸の囲む部分にに含まれ右図(後に描画します)に斜線で示したような部分に現れない。
さらにまた、外接する2円の中心を半径の比に内分するから、円板[0 \; , \; 1] \; , \; [1\; , \; n]の接点のy座標は

\frac{1}{\large{n^{\tiny{2}} + 1}} \; \{1 \cdot \frac{1}{2} \; + \; n^{\tiny{2}} \cdot \frac{1}{\large{2n^{\tiny{2}}}}\} \; = \; \frac{1}{\large{n^{\tiny{2}}+1}}
同様に、円板[1\; , \; n ] \; , \; [1\; , \; 1+n ]の接点のy座標は

\frac{1}{\large{(n+1)^{\tiny{2}}+n^{\tiny{2}}}}\{n^{\tiny{2}} \cdot \frac{1}{\large{2n^{\tiny{2}}}} \; + \; (n+1)^{\tiny{2}} \cdot \frac{1}{\large{2(n+1)^{\tiny{2}}}}\} \; = \; \frac{1}{\large{(n+1)^{\tiny{2}}+n^{\tiny{2}}}}

したがって図の網目部分を囲む3点のy座標について、不等式

\frac{1}{\large{(n+1)^{\tiny{2}}+n^{\tiny{2}}}} \; \leq \; \frac{1}{\large{(n+1)^{\tiny{2}}+1}} \; < \; \frac{1}{\large{n^{\tiny{2}}+1}}

が成立し、等号はn=1のときに限り、その左辺は　\frac{1}{5}　となる
ゆえに0≦x≦1の範囲で、線分y \; = \;m(0≦x≦1)が、①で定められる円板で覆われる必要十分条件は　m \; = \; \frac{1}{2} \; , \;または　\frac{1}{5}　であり逆にそのとき、①の円板は任意の区間　n≦x≦n+1　で　0≦x≦1　におけると同じように平面を覆うから任意の実数xに対して、与えられた不等式を成り立たせるような整数p,qはを定めることができる。

よって求めるyの値は　

　　　　　　　　　　　　　　　　　\frac{\Large{1}}{\Large{2}}　または　\frac{\Large{1}}{\Large{5}}