E判スレ>>218

a_1=a,a_2=b,a_{n+2}=a_n+a_{n+1}(n\geq1)で定められる数列\{a_n\}がある。
a_{3m+2}=cとするとき\sum_{k=1}^{m} a_{3k}をa,b,cのうちの適当なものを
用いて表せ。

解答
\{a_n\}の特性方程式の解を\alpha,\beta \; (\alpha>\beta)とおくと
t^2-t-1=0の解が\alpha,\betaなので、これを解いて\alpha = \frac{1+\sqrt{5}}{2}, \beta = \frac{1-\sqrt{5}}{2}ゆえ
{a_{n+2} - \alpha a_{n+1}\\ = \beta(a_{n+1} - \alpha a_n) \\ = \beta ^n(a_2 - \alpha a_1) \\ =\beta ^n(b - \alpha a) \; \cdots (i)
同様に
{a_{n+2} - \beta a_{n+1} = \alpha ^n(b - \beta a) \; \cdots (ii)
(ii)-(i)と\alpha \beta =-1であることをあわせて整理すると
a_n =\frac{1}{\sqrt{5}}(\omega _{\tiny{n-2}}a + \omega _{\tiny{n-1}}b)ただし\omega_{\tiny{n}}=\alpha ^n - \beta ^nとする
さて
\sum_{k=1}^m a_{3k}= \frac{1}{\sqrt{5}} \sum_{k=1}^m (\omega _{\tiny{3k-2}}a + \omega _{\tiny{3k-1}}b)これを☆とおく。また
\sum_{k=1}^m \alpha^{\tiny{3k-2}}= \frac{\alpha(\alpha ^{\tiny{3m}} - 1)}{\alpha ^{\tiny3} -1}、ここで\alpha ^3=2 + \sqrt{5}なので\frac{\alpha(\alpha ^{\tiny{3m}} - 1)}{\alpha ^{\tiny3} -1} = \frac{\alpha ^{\tiny{3m}} - 1}{2}
\sum_{k=1}^m \alpha^{\tiny{3k-1}}= \frac{\alpha(\alpha ^{\tiny{3m+1}} - \alpha)}{\alpha ^{\tiny3} -1} = \frac{\alpha ^{\tiny{3m+1}} - \alpha}{2}
より
\sum_{k=1}^m \omega _{\tiny{3k-2}} = \frac{\alpha ^{\tiny{3m}} - 1}{2} - \frac{\beta ^{ \tiny{3m}} - 1}{2} = \frac{\alpha{\tiny{3m}} - \beta{\tiny{3m}}}{2} = \frac{\omega _{\tiny{3m}}}{2}
\sum_{k=1}^m \omega _{\tiny{3k-1}} = \frac{\alpha ^{\tiny{3m+1}} - \alpha}{2} - \frac{\beta ^{\tiny{3m+1}} - \beta}{2} = \frac{\alpha ^{\tiny{3m+1}} - \beta ^{\tiny{3m+1}}}{2} - \frac{\alpha - \beta}{2} = \frac{\omega _{\tiny{3m+1}}}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}ゆえ、それぞれ☆に代入して
\sum_{k=1}^m a_{\tiny{3k}} = \frac{1}{\sqrt{5}}\{\frac{\omega _{\tiny{3m}}}{2}a + (\frac{\omega _{\tiny{3m+1}}}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2})b\} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}(\omega _{\tiny{3m}} a + \omega _{\tiny{3m+1}} b) - \frac{b}{2} = \frac{a_{\tiny{3m+2}}}{2} - \frac{b}{2} = \frac{c-b}{2}

のはずなのに答えが合わない

追記(18:51)
別解
K大生氏による
a_3 \; + \; a_6\; + \; \cdots \; + \; a_{\tiny{3m}}\; =a_1 \; + \; a_2 \; +a_4 \;+ \; a_5 \; + \; \cdots \;+ \; a_{\tiny{3m-2}} \; + \; a_{\tiny{3m-1}}\; = \; S
\sum_{k=1}^{3m} a_k\; = \;2S
a_k \;= \;a_{\tiny{k+2}} \; - \; a_{\tiny{k+1}}より
\sum_{k=1}^{3m} a_k \; = \; a_{\tiny{3m+2}} \; - \; a_2 \; = \; c \;- \; b \; = \;2S
S \;= \; \frac{c - b}{2}

これはやられたな
最後に\frac{a_{\tiny{3m+2}}}{2} - \frac{b}{2}があったので何かカラクリがあると思った
リュカ数(Lucas number)、フィボナッチ(Fibonacci)には裏の背景には非常に素晴らしい関係がいくつかあるようだ